После того, как в 2013 году Итан Чжан шокировал математическое сообщество крупным результатом, Итан Чжан теперь утверждает, что решил аналог знаменитой гипотезы Римана.

Математик, который в 2013 году из безвестности превратился в светило благодаря разгадке векового вопроса о простых числах, теперь утверждает, что решил ещё одну проблему.

Эта проблема похожа на гипотезу Римана, которая считается одной из самых важных проблем в математике, но отличается от неё.

Специалист по теории чисел Итан Чжан из Калифорнийского университета в Санта-Барбаре опубликовал предложенное им решение — 111-страничный препринт — на сервере препринтов arXiv 4 ноября.

Решение ещё не было подтверждено его коллегами. Но если оно подтвердится, это в какой-то мере приведет к укрощению случайности простых чисел — целых чисел, которые нельзя разделить равномерно ни на одно число, кроме самих себя или 1.

Гипотеза о нулях Ландау-Зигеля похожа на гипотезу Римана — ещё один вопрос о случайности простых чисел и одна из самых больших неразгаданных тайн в математике — и, как некоторые подозревают, менее сложна. Хотя уже тысячелетия известно, что простых чисел бесконечно много, невозможно предсказать, будет ли данное число простым; можно лишь определить вероятность того, что оно будет таковым, учитывая его размер. Решение задач Римана или Ландау-Зигеля означало бы, что распределение простых чисел не имеет огромных статистических колебаний.

«Для меня, работающего в этой области, такой результат был бы огромным», — говорит Эндрю Грэнвилл, теоретик чисел из Монреальского университета в Канаде. Но он предупреждает, что другие, включая Чжана, ранее предлагали решения, которые оказались ошибочными и что исследователям потребуется время, чтобы проанализировать аргументы Чжана, чтобы убедиться, верны ли они. «Прямо сейчас мы очень далеки от уверенности».

Чжан не ответил на просьбу журнала Nature о комментарии. Но он написал о своей последней работе на китайском сайте Zhihu. «Что касается гипотезы нулей Ландау-Зигеля, я и не думал сдаваться», — написал он. Он добавил: «Что касается моих планов на будущее, то я не собираюсь выдавать эти математические проблемы. Я думаю, что, вероятно, мне придется заниматься математикой всю жизнь. Я не знаю, что можно делать, не занимаясь математикой. Люди задавали вопросы о моем уходе на пенсию. Я сказал, что если я уйду из математики, я действительно не буду знать, как жить дальше». (Его комментарии были переведены на английский язык сайтом Pandaily).

Страсть к простым числам

С середины октября ходили слухи, что Чжан совершил прорыв  в решении проблемы Ландау-Зигеля и математическое сообщество наверняка обратит на это внимание. На счету Чжана всего один значительный результат, но он принадлежит к числу тех, которые будут известны в веках.

В течение многих лет после получения степени доктора философии в 1991 году он был отдален от своего научного руководителя и подрабатывал, чтобы свести концы с концами. Затем он занял должность преподавателя в Университете Нью-Гэмпшира в Дареме, где спокойно занимался своей страстью — статистическими свойствами простых чисел.

В 2007 году он опубликовал препринт гипотезы Ландау-Зигеля, но математики обнаружили проблемы и он так и не был опубликован в рецензируемом журнале.

Первый большой прорыв Чжана произошел в 2013 году, когда он показал, что, хотя промежутки между последующими простыми числами в среднем становятся всё больше и больше, существует бесконечно много пар, которые находятся на определенном конечном расстоянии друг от друга. Это был первый большой шаг к решению главного вопроса теории чисел — существует ли бесконечно много пар простых чисел, отличающихся всего на 2 единицы, таких как 5 и 7 или 11 и 13. (Теоретик чисел Джеймс Мейнард из Оксфордского университета, Великобритания, в июле получил медаль Филдса за улучшение результата Чжана и другие достижения).

Проблема, которую Чжан теперь говорит, что он решил, относится к началу двадцатого века, когда математики исследовали способы укротить случайность простых чисел. Один из способов их подсчета — разделить их на конечное число корзин, основываясь на остатках, которые получаются при делении простого числа на другое простое число, обозначаемое p. Например, при делении на p = 5 простое число может дать остаток от 1, 2, 3 или 4. Результаты, полученные в начале девятнадцатого века, показывают, что — если рассматривать достаточно большую статистическую выборку — эти возможности должны «в конечном итоге» возникнуть с равной вероятностью. Но главный вопрос, объясняет Грэнвилл, заключался в том, насколько большой должна быть статистическая выборка, чтобы проявилась модель равного распределения: «Что означает „в конечном итоге“? Когда они начнут становиться хорошо распределенными?»

Известные в то время методы предполагали, что выборки должны быть невероятно большими, растущими экспоненциально с ростом p. Но немецкий математик Карл Людвиг Зигель нашел относительно простую формулу, которая позволила решить эту проблему с корзиной и потенциально сделать выборки намного меньше. Он показал, что если при определенных обстоятельствах формула не дает 0, то это равносильно доказательству гипотезы. «Он убрал с дороги всю мёртвую древесину и оставил только один массивный дуб, который нужно было срубить», — говорит Грэнвилл. Проблема, также сформулированная независимо от него другим немецким математиком, Эдмундом Ландау, стала известна как гипотеза нулей Ландау-Зигеля. Сейчас Чжан утверждает, что доказал более слабую её версию, но имеющую аналогичные последствия в отношении распределения простых чисел.

Нерешённая проблема

Эта гипотеза является двоюродной сестрой гипотезы Римана — способа предсказать вероятность того, что числа в определенном диапазоне являются простыми, который был разработан немецким математиком Бернхардом Риманом в 1859 году.

Гипотеза Римана, вероятно, останется на вершине списков желаний математиков ещё на долгие годы. Несмотря на её важность, ни одна попытка до сих пор не привела к значительному прогрессу. Только самые смелые математики — часто те, у кого за плечами уже есть крупные достижения и награды — публично признаются, что пытаются решить её. «Это одна из тех вещей, о которых говорить о Римане», — говорит Алекс Конторович, специалист по теории чисел из Университета Ратгерса в Пискатауэе, штат Нью-Джерси. «Люди работают над этим тайно».

Хотя прогресс в решении гипотезы Римана застопорился, проблема Ландау-Зигеля предлагает похожие идеи, добавляет он. «Решение любой из этих проблем стало бы большим прогрессом в нашем понимании распределения простых чисел».

Источник: www.nature.com